Para calcular a área de um terreno a partir das coordenadas dos vértices, basta aplicar a fórmula do polígono (também chamada de “[método de Gauss](https://pt.wikipedia.org/wiki/Fórmula_do_polígono)”). Em poucos passos você organiza os pontos, roda o somatório e obtém o valor em metros quadrados. A seguir, veja como fazer isso em detalhes, com exemplo numérico e dicas para evitar erros comuns.
1. Como organizar e ordenar os vértices
- Reúna as coordenadas (X, Y) de todos os vértices do perímetro.
- Ordem: percorra o contorno de forma contínua, em sentido horário ou anti-horário.
- Fechamento: repita o primeiro ponto ao final da lista para “fechar” o polígono.
2. Fórmula do polígono (Gauss)
Para n vértices (X₁,Y₁), (X₂,Y₂), …, (Xₙ,Yₙ), com (Xₙ₊₁,Yₙ₊₁) = (X₁,Y₁):
Área = ½ |∑i=1n (Xi·Yi+1 – Xi+1·Yi)|
- O valor dentro do módulo pode ser negativo se os pontos estiverem em sentido horário. Por isso o valor absoluto |…|.
- O resultado fica em unidades quadradas do sistema de coordenadas (normalmente metros quadrados).
3. Passo a passo do cálculo
- Liste as coordenadas em colunas X e Y, repetindo o primeiro ponto como linha (n+1).
- Calcule os produtos Xi·Yi+1 e Xi+1·Yi para cada i.
- Some todos os Xi·Yi+1 e, separadamente, todos os Xi+1·Yi.
- Subtraia a segunda soma da primeira, aplique o valor absoluto e divida por 2.
4. Exemplo numérico
Considere um quadrilátero com vértices (em metros):
- P1 (100, 200)
- P2 (150, 250)
- P3 (200, 200)
- P4 (150, 150)
- P5 = P1 (100, 200) para fechar
| i | Xi | Yi | Xi+1 | Yi+1 | Xi·Yi+1 | Xi+1·Yi |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 100 | 200 | 150 | 250 | 100·250=25 000 | 150·200=30 000 |
| 2 | 150 | 250 | 200 | 200 | 150·200=30 000 | 200·250=50 000 |
| 3 | 200 | 200 | 150 | 150 | 200·150=30 000 | 150·200=30 000 |
| 4 | 150 | 150 | 100 | 200 | 150·200=30 000 | 100·150=15 000 |
Somas: ∑(Xi·Yi+1) = 25 000+30 000+30 000+30 000 =115 000
∑(Xi+1·Yi) = 30 000+50 000+30 000+15 000 =125 000
Área = ½ |115 000 – 125 000| = ½·10 000 = 5 000 m²
5. Conversão entre m² e hectares
- 1 hectare (ha) = 10 000 m²
- Para converter m² → ha: divida por 10 000. Ex.: 5 000 m² = 0,5 ha.
- Para converter ha → m²: multiplique por 10 000.
6. Erros comuns e cuidados
- Sistema de coordenadas: use sempre o mesmo datum e projeção (ex.: UTM, SIRGAS 2000).
- Unidades: garanta que X e Y estejam em metros (ou outra unidade consistente).
- Ordem dos vértices: inversão do sentido inverte o sinal da área (por isso o módulo).
- Pontos fora da ordem: se o polígono “cruzar” a si mesmo, o resultado será incorreto.
- Fechamento: não esqueça de repetir o primeiro ponto ao final.
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